La convessità: nell'Analisi matematica, nella Geometria, nella Fisica di base

Il corso è un’introduzione alla convessità per gli insiemi piani e per le funzioni reali di variabile reale. Verranno mostrate alcune fra le più importanti applicazioni di questa nozione nell'Analisi Matematica, nella Geometria e nella Fisica di base. Verranno sommariamente indicate possibili estensioni dei metodi e dei risultati presentati ad ambiti multi e infinito dimensionali.
L’entrata a pieno titolo della nozione di convessità nella storia della Matematica è di molto successiva alla nascita del calcolo infinitesimale. Alla fine del secolo XIX Gibbs e Maxwell le usarono in termodinamica, ma le funzioni convesse rivestono una fondamentale importanza negli ancora più recenti sviluppi della teoria della ottimizzazione in ambiti multi e infinito dimensionali. La nozione di convessità si è rivelata cruciale anche nella teoria delle disuguaglianze (problemi isoperimetrici, confronti fra le medie pitagoriche della statistica matematica) e nella geometria differenziale delle curve (esistenza di cerchi osculatori, curvatura). Il calcolo differenziale fornisce strumenti efficaci per lo studio delle funzioni convesse di una variabile reale: tuttavia esse - solo in quanto tali - posseggono una intrinseca differenziabilità di carattere geometrico, che le rendono derivabili (nel senso tradizionale di Fermat, Lebnitz e Newton) in “quasi ogni” punto del loro dominio. Il corso verterà su una introduzione elementare e rigorosa alla convessità (degli insiemi piani e delle funzioni reali di variabile reale): sarà preceduta dalla illustrazione di alcune sue motivazioni e seguita da altre paradigmatiche applicazioni all'Analisi Matematica, allo studio di problemi di minimizzazione, alla geometria elementare, alle curve differenziabili, alla Matematica applicata e alle scienze di base. Le lezioni teoriche saranno accompagnate da esercitazioni e da illustrazioni al computer.
Ai partecipanti verrà messo a disposizione un testo scritto con la completa descrizione delle teorie sviluppate nel corso, insieme ad un elenco di problemi concretamente proponibili a classi di studenti delle Scuole Superiori.