Dalla storia dei problemi alla ricerca attuale

Corso di formazione insegnanti

presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna, articolato in 4 mini corsi.

Programma

Uno dei preconcetti più difficili da combattere negli studenti di scuola secondaria e nella società tutta è che nella matematica tutto sia stato scoperto secoli fa e non ci sia più nulla da scoprire e da dimostrare.
Con questo breve corso intendiamo fornire agli insegnanti esempi di problemi studiati a lungo e per i quali solo di recente sono stati ottenuti risultati soddisfacenti. Questi problemi possono essere anche presentati ai loro studenti per cercare di combattere i pregiudizi verso la matematica.

• Silvia Benvenuti:
  Dalla congettura di Poincarè al Teorema di Perelman
  È il 1904 quando Henri Poincaré formula una congettura, apparentemente inoffensiva, destinata invece a entrare nella storia della matematica recente: inserita nella lista dei Millennium problems dell’istituto Clay, che offre un milione di dollari per la sua soluzione, viene risolta solo all’inizio del nuovo millennio da Grigori Perelman, che peraltro rinuncia al premio. Il problema presenta molti motivi di interesse, nell’ambito di un corso di formazione che si propone di muovere dalla storia dei problemi alla ricerca attuale: classico ma risolto in tempi moderni, enunciato in ambito topologico ma risolto con metodi provenienti dall’analisi, attribuito a un genio isolato ma di fatto culmine di un processo di pensiero collettivo, ci sembra un buon esempio di come la matematica sia una materia in costante evoluzione, nella quale l'approccio interdisciplinare può essere vincente rispetto a quello settoriale.
  Nel corso spiegheremo con qualche dettaglio l’enunciato e cercheremo di dare lo spirito della dimostrazione, esulando naturalmente dai nostri obiettivi e dalle nostre possibilità, vista la complessità dei temi, farne un’analisi dettagliata. Ci interrogheremo inoltre, riflettendo su questo esempio, su quale sia la valenza didattica dell'approccio storico/narrativo nell'affiancare l’insegnamento tradizionale con strumenti nuovi, in grado di motivare lo studente nei confronti di una materia troppo sovente ritenuta arida e ostica.

• Alessia Cattabriga:
  La teoria dei nodi nei processi biochimici
  I nodi sono curve chiuse nello spazio prive di autointersezioni. Il loro studio si afferma nella seconda metà del XIX secolo all'interno della teoria degli atomi vortice di Lord Kelvin, in cui si giustificavano le proprietà chimico-fisiche degli atomi proprio in base al loro diverso annodamento. Tramontata tale teoria, lo studio dei nodi continua nell'ambito della topologia, facendone uno strumento indispensabile per rappresentare e studiare le varietà di dimensione 3. Oggi la teoria dei nodi ha ramificazioni in diversi ambiti della matematica, della fisica teorica e della biochimica. In particolare vedremo come i nodi siano impiegati per rappresentare e studiare alcuni processi delle macromolecole biochimiche.

• Mirella Manaresi:
  Problemi enumerativi sulle coniche
  Un problema enumerativo in geometria è un problema in cui si deve calcolare il numero di certi oggetti geometrici, sotto condizioni che rendano questo numero finito.
  Uno dei più antichi e più famosi problemi enumerativi è il problema di Apollonio, che nel 200 a.C. si pose il problema di costruire le circonferenze tangenti a tre circonferenze date. Da allora sono stati formulati e studiati molti problemi enumerativi riguardanti le coniche (passanti per certi punti, tangenti a certe rette e/o a certe coniche) e tra questi il più noto è il problema posto da Jacob Steiner nel 1848: “Date cinque coniche del piano proiettivo, quante sono le coniche tangenti a tutte cinque?”. Steiner pensava che il numero di queste coniche fosse 65 = 7776, Cremona si accorse che questo numero era errato e per primo Chasles nel 1866 ipotizzò che il numero corretto fosse 3264. Per arrivare a una dimostrazione rigorosa del risultato sono stati necessari 150 anni e lo sviluppo di tanta matematica.
  Nel 2019 P.Breiding, B.Sturmfels e S.Timme hanno realizzato un software che consente di determinare esplicitamente le 3264 coniche tangenti a cinque coniche di cui sono date le equazioni.
  In questo corso verranno studiati alcuni problemi enumerativi sulle coniche e presentato il software di Breiding-Sturmfels-Timme.

• Andrea Pascucci:
  Modellistica e gestione del rischio tramite strumenti probabilistici
  Dopo aver richiamato alcuni strumenti di base di Probabilità, verranno presentati  alcuni esempi di applicazioni in cui la Probabilità gioca un ruolo cruciale come strumento per modellizzare e gestire il rischio in tutti gli ambiti in cui si studiano fenomeni in condizioni d'incertezza.

Calendario

venerdì 8 ottobre

• 15:00 - 16:40
  Modellistica e gestione del rischio tramite strumenti probabilistici - 1

• 17:10 - 19:00
  La teoria dei nodi nei processi biochimici - 1

sabato 9 ottobre

• 09:00 - 10.50
  Modellistica e gestione del rischio tramite strumenti probabilistici - 2

• 11:10 - 13:00
  Problemi enumerativi sulle coniche - 1

• 13:00 - 15:00
  buffet e breve visita ai musei universitari (facoltativa)

• 15:00 - 16:50
  Dalla congettura di Poincarè al Teorema di Perelman - 1

• 17:00 - 19:00
  La teoria dei nodi nei processi biochimici - 2

domenica 10 ottobre

• 09:00 - 10:50
  Problemi enumerativi sulle coniche - 2

• 11:10 - 13:00
  Dalla congettura di Poincarè al Teorema di Perelman - 2