Dai triangoli alle superfici: classificare in matematica

Nel laboratorio sarà analizzato il problema della classificazione in matematica, e più nello specifico in geometria.

Si partirà rivisitando alcuni argomenti familiari, come i criteri di congruenza e di similitudine dei triangoli, in una prospettiva di classificazione, ossia ripartizione in classi. Nei vari esempi, si metterà in evidenza l'insieme di oggetti studiati, la relazione considerata e le classi quoziente. Si parlerà di invarianti e si discuterà quali, negli esempi considerati, possano essere classificanti. Si metterà in luce come spesso la relazione di equivalenza sia indotta dall'azione di un gruppo di biezioni (es. isometrie, isometrie+omotetie) rispetto al quale si effettua l'operazione di quoziente. Questa attività, permetterà da un lato di parlare dei molteplici significati sottintesi (e spesso confusi) della parola “uguali” e dall'altro di mettere in evidenza quali proprietà geometriche sono invarianti rispetto alle trasformazioni considerate. Si chiederà quindi di (ri)-trovare in quest'ottica, la classificazione delle coniche, sia rispetto alle congruenza che alla similitudine.

Nella seconda parte verrà presentato un nuovo problema di classificazione, quello delle superfici compatte a meno di omeomorfismo. Saranno introdotti il concetto di superficie e quello di funzione continua. Si parlerà di genere, carattere di orientabilità e bordo. Quindi si mostrerà una riformulazione combinatoria del problema in cui le superfici verranno viste come poligoni con i lati identificati: si analizzeranno alcuni esempi (i.e., le superfici ottenibili a partire da un quadrato) e si tenterà di tradurre gli invarianti introdotti in ambito geometrico nel nuovo linguaggio combinatorio. Si mostrerà, quindi, come la rappresentazione combinatoria, permetta di giungere ad una classificazione. Questo sarà il pretesto per mettere in evidenza un concetto più generale: come la risoluzione di un problema in matematica spesso passi per una sua riformulazione. Infine si ritornerà sul problema della classificazione coniche mostrando come la sua traduzione nel linguaggio della geometria analitica, ne permetta la risoluzione.