Analisi algebrico-infinitesimale dei polinomi reali, e la conseguente provvidenziale scoperta dei numeri complessi.

Le funzioni polinomiali reali possiedono,  nei loro  ''genomi'' , un calcolo infinitesimale   di carattere puramente algebrico,  che non richiede la generale teoria analitica dei limiti.

Con questo calcolo si risolvono classici problemi di massimo e di minimo, si determinano le rette tangenti ai grafici dei polinomi e,  di questi grafici, si stabiliscono gli andamenti qualitativi. Ciò consente, in vari casi significativi, di stabilire esistenza,  e numero, di radici reali di un polinomio reale. In particolare:  di tutti i polinomi reali di terzo grado.

''Quelli che oggi si chiamano numeri complessi traggono origine non,  come a volte si dice, dalla volontà di dare soluzioni anche ad equazioni come x^2 + 1 = 0, ma per esprimere le soluzioni reali delle equazioni d terzo grado (Enrico Giusti:- Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici, Bollari Boringhieri, 1999)

Dopo una serie di tentativi falliti che accompagnarono la Matematica medioevale, la formula risolutiva per le equazioni di terzo  grado venne trovata agli inizi del Cinquecento dal matematico bolognese Scipione Dal Ferro. Questa formula, tuttavia, anche nel caso di equazioni aventi tutte le radici reali, costringeva a passare attraverso un ''campo di numeri'' che reali non erano.

Fu questo a  spingere i matematici ad esplorare questo nuovo campo, poi chiamato dei numeri complessi, ed a scoprire che esso è dotato di inaspettate straordinarie proprietà, come la formula, scoperta da Leonhard Eulero, che collega la funzione esponenziale con le funzioni trigonometriche.

Questa formula è alla base di una successiva  rivoluzionaria intuizione, dovuta  a Joseph Fourier: ogni funzione reale periodica è ''somma infinita'' di funzioni trigonometriche.

Intuizione questa che consentì di dare veste matematica ai fenomeni di diffusione e di propagazione ondosa.

Un'altra  straordinaria acquisizione dovuta alla provvidenziale scoperta dei numeri complessi, è la seguente. Eulero (ancora lui!) aveva scoperto una funzione reale, di variabile reale, dalla quale si deduceva facilmente una nuova dimostrazione del classico Teorema di Euclide sulla infinità dei numeri primi. Questa stessa funzione consente in più  di comprendere che i numeri primi si distribuiscono nell'insieme di tutti i numeri naturali, in modo più denso, per esempio, dei quadrati perfetti.

Bernhard Riemann prolungò la funzione di Eulero all' insieme dei numeri complessi. Questa nuova funzione,  oggi chiamata funzione zeta di Riemann, si è presto conquistata un ruolo fondamentale nella Teoria dei Numeri. Essa possiede degli zeri banali, i.e. facilmente identificabili. Riemann ipotizzò che ne avesse altri, infiniti, tutti appartenenti alla retta reale,  del campo complesso,  {Re z = - 1/2}. Questa congettura, chiamata ipotesi di Riemann, e' considerata uno dei piu' importanti problemi aperti della Matematica odierna, dalla cui risoluzione in senso positivo,  seguirebbero risposte altrettanto positive a varie questioni ancora aperte sulla distribuzione di numeri primi.

Il Laboratorio si prefigge lo scopo di far comprendere le principali tappe del cammino

qui sopra presentato, senza pretendere  dai frequentanti altro che una normale familiarita'

con le funzioni trigonometriche.