Seminari on-line

La teoria dei nodi è un caso esemplare di sviluppo di una teoria matematica che partendo da domande su oggetti della vita quotidiana arriva alla creazione di nuovi modi di vedere il problema e nuovi strumenti per studiarlo, che al contempo variano anche il tipo di domande che si considerano rilevanti. Nel caso della teoria dei nodi ad esempio si è spostato l'accento dal tentativo di classificazione allo sviluppo di invarianti calcolabili e alla stima della loro complessità. Il seminario mostrerà anche come nello studio universitario della matematica ci si possa imbattere in oggetti, problemi e modi di pensare di natura ben diversa da quelli che si è soliti considerare come "matematica".

Quali numeri naturali possono scriversi come somma di due quadrati? Un problema apparentemente semplice a cui si sono interessati grandi matematici come Eulero e Fermat. Cercheremo la risposta a questa domanda introducendo il linguaggio dell'aritmetica modulare, che ci permetterà durante il percorso di dimostrare interessanti proprietà di alcuni numeri naturali di tipo particolare (triangolari, quadrati, primi) e vedremo che esistono problemi dalla formulazione molto elementare che sono ancora oggi irrisolti.

Digressione sul mio percorso di studi: dal liceo alla Banca d'Italia Rischio e incertezza: la logica dell'incerto Come eliminare il rischio: la polizza assicurativa Premi, stato patrimoniale e conto economico Il mercato della r.c. auto e la lotta alle frodi

Il seminario, frutto di una collaborazione con l'Architetto Nicola Santopuoli, docente presso l'Università Sapienza di Roma, presenta un’introduzione elementare alla geometria frattale, di cui verranno mostrate varie applicazioni, in particolare con riferimento all'ambito artistico ed architettonico.

Quali sono le esigenze dell’insegnamento della Matematica in un Liceo? In particolare, che cosa come insegnanti chiediamo a un libro di testo affinché sia uno strumento utilizzabile e utile nelle classi di oggi? E come studenti? Nella prima parte di questo seminario cercheremo di dare la nostra risposta a queste domande, confrontandoci con i punti di vista dei partecipanti. Nella seconda parte, offriremo un esempio concreto di come sia possibile lavorare su uno snodo concettuale significativo, affrontandolo da più punti di vista e su più registri, nell’idea che la formazione di competenze venga favorita dalla consapevolezza dell’insegnante della complessità dei quadri epistemologici e storici e dall’utilizzo di approcci differenti e di una didattica a spirale.

La didattica digitale è destinata a trasformare le modalità di insegnamento e di apprendimento e promuove il ruolo attivo degli studenti nello sviluppo di competenze. Si basa sull'utilizzo di ambienti digitali di apprendimento integrati con sistemi evoluti per il calcolo simbolico e per la valutazione. Nel seminario verranno illustrate teorie, buone pratiche, risultati ed esempi di ambienti digitali di apprendimento delle STEM utili a docenti e studenti.

Ci si concentra su alcuni fenomeni percettivi, come illusioni ottiche o completamenti, per verificare che la geometria della percezione non è quella Euclidea. Nella percezione proprietà come il colore, l'allineamento, la curvatura posso essere determinanti per discriminare le proprietà o la differenza di due immagini. Queste qualità entrano quindi in modo determinante nella definizione della geometria della percezione. Vedremo che si tratta di una geometria degenere, indotta dalla struttura della corteccia visiva. Il lavoro è stato svolto in collaborazione con A. Sarti (CNRS).

«Es scheint, das Wissen hat einen Zauber, den die nicht begreifen können, die von ihm nie ergriffen worden sind. Ich meine (…) ein Wissen wie dasjenige Cardanos. Der war wirklich ein großer Mann, trotz aller seiner Fehler; ohne die wäre er unvergleichlich gewesen.» «Sembrerebbe che il sapere abbia la sua magia, e non lo potrà mai acchiappare chi non sia da lei incantato. Intendo (…) il sapere come quello di Cardano. Era un uomo davvero grande, malgrado tutti i suoi difetti; senza i quali, non avrebbe avuto pari.» LEIBNIZ Gerolamo Cardano è una delle figure le più enigmatiche e affascinanti nella storia del pensiero italiano. Matematico, medico, filosofo e mago, maestro amatissimo dai suoi allievi, scrittore di una infinita generosità e con una vocazione divulgatrice profetica, Gerolamo Cardano rivoluzionò l’algebra e fondò la probabilità. “Tutt’ei provò : la gloria maggior dopo il periglio, la fuga e la vittoria”, l’invidia dei colleghi all’Università di Bologna, un processo fabbricato, la salvezza, veramente per poco, dal patibolo, l’aiuto dal suo antico collega all’Alma Mater, il Papa Gregorio XIII, l’oblio quasi completo in patria (le sue opere verranno alla luce in Francia), la gloria postuma e l’interesse moderno, sempre crescente. In questa conferenza introduttiva rivedremo la sua biografia folgorante e il suo contributo fondamentale.

Euclide fu il primo a dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Molti secoli dopo Eulero ne da una dimostrazione alternativa con una indicazione sulla “densità" dei numeri primi all’interno dell’insieme dei numeri naturali. Fu però Gauss a capire che per studiare la distribuzione dei numeri primi è legata alla loro densità e congetturò quello che Hadamard e De la Vallée-Poussin dimostrarlo alla fine del XIX secolo e che oggi conosciamo come Teorema dei numeri primi. Cosa c’entra la distribuzione dei numeri primi con la famosa congettura di Riemann? E come si utilizza l’analisi matematica per “contare” i numeri primi o per "contare" i divisori di un numero composto? Riemann aveva gettato le basi per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi 40 anni prima, considerando la funzione zeta che prende il suo nome. Rimane da dimostrare la congettura di Riemann, la cui formulazione richiede la conoscenza di funzioni a variabile complessa ma, come Riemann stesso ha dimostrato, essa è strettamente legata alla distribuzione dei numeri primi.

L'oggetto di questo seminario è un filone ben noto dell'opera di Escher: i tassellamenti del piano. L'idea è questa: si parte da una tessera e senza lasciare spazi bianchi e senza sovrapposizioni si ricopre tutto il piano con tessere uguali a questa, eventualmente ruotate o ribaltate. Così il piano diventa un puzzle infinito con tessere tutte congruenti. Escher, utilizzando figure di animali, diavoli, angeli, mostri che si incastrano perfettamente, nelle sue opere ce ne offre tanti esempi. È naturale chiedersi in quanti modi può essere costruito un puzzle infinito di questo tipo. Per rispondere partiremo dall'osservazione di alcuni lavori dell'artista, e cercheremo di scoprire la geometria che c'è sotto "smontandoli" dal punto di vista matematico; questo ci permetterà anche di capire come costruire nuovi tassellamenti usando un poco di matematica e la nostra fantasia.

La computer algebra, chiamata anche calcolo simbolico, è il settore della matematica, nato alla fine degli anni settanta, che studia e sviluppa algoritmi e software per manipolare espressioni algebriche. Oggi Grete Hermann, la prima studentessa di dottorato di Emmy Noether (grandissima matematica del secolo scorso), è considerata una pioniera di questo settore, per un lavoro tratto dalla sua tesi di dottorato e pubblicato nel 1926. Il lavoro della Hermann nasce da un problema posto da Emmy Noether e per più di trent’anni è stato ignorato dalla comunità scientifica.

Qual è la geometria di una stoffa elastica? E quella di una macchina automatica? Quali sono i criteri di congruenza dei quadrilateri? In quale geometria un parallelogramma e un pentagono sono "uguali"? Queste domande ci guideranno alla riscoperta, in chiave dinamica, della geometria: l'osservazione di ciò che varia e ciò che rimane invariato ci permetterà di spostare l'attenzione dagli oggetti alle relazioni tra essi e di delineare una molteplicità di geometrie possibili. Gli studenti sono invitati a svolgere gli esercizi, anche in gruppo, e a presentare le loro soluzioni durante l'incontro del 15 dicembre. Gli studenti che presentano le soluzioni, possono ricevere un attestato valido per il PCTO.

Le leggi della natura sono causali (il presente dipende dal passato, non dal futuro), invarianti nel tempo (la legge di gravità vale in ogni epoca, almeno su certe scale temporali), spesso deterministiche (ma a volte casuali)... Molti fenomeni di natura hanno natura periodica. Sul lungo periodo, da un apparente disordine talvolta emergono strutture regolari, come gli anelli di Saturno. Simili considerazioni possono essere fatte sulle macchine, reali o virtuali che siano, e su una gran varietà di sistemi naturali, sociali e persino astratti. Cercheremo di inquadrare questi termini e di cogliere l'emergere di questi fenomeni nel più semplice dei contesti, il cui universo consta di un numero finito di configurazioni e si passa dall'una all'altra secondo semplici regole. Negli esercizi ogni partecipante potrà creare e studiare il proprio universo.

Qual è la geometria di una stoffa elastica? E quella di una macchina automatica? Quali sono i criteri di congruenza dei quadrilateri? In quale geometria un parallelogramma e un pentagono sono "uguali"? Queste domande ci guideranno alla riscoperta, in chiave dinamica, della geometria: l'osservazione di ciò che varia e ciò che rimane invariato ci permetterà di spostare l'attenzione dagli oggetti alle relazioni tra essi e di delineare una molteplicità di geometrie possibili.

Le leggi della natura sono causali (il presente dipende dal passato, non dal futuro), invarianti nel tempo (la legge di gravità vale in ogni epoca, almeno su certe scale temporali), spesso deterministiche (ma a volte casuali)... Molti fenomeni di natura hanno natura periodica. Sul lungo periodo, da un apparente disordine talvolta emergono strutture regolari, come gli anelli di Saturno. Simili considerazioni possono essere fatte sulle macchine, reali o virtuali che siano, e su una gran varietà di sistemi naturali, sociali e persino astratti. Cercheremo di inquadrare questi termini e di cogliere l'emergere di questi fenomeni nel più semplice dei contesti, il cui universo consta di un numero finito di configurazioni e si passa dall'una all'altra secondo semplici regole. Negli esercizi ogni partecipante potrà creare e studiare il proprio universo.

In questi ultimi mesi, a causa della pandemia di Covid, siamo stati bombardati da dati e termini nuovi e inquietanti, cui ci è difficile dare un significato. La matematica può fornirci una chiave di lettura, consentendoci non solo di interpretare dati, termini e grafici, ma anche di capire lo scopo delle misure di contenimento dell’epidemia e, forse, di stimare quando ne vedremo gli effetti.